Теворема Роля

Теворема Ро́ля (теворема про нуль производной) — теворема числознайской роздробки, котора вхоит, купно с теворемами Лагранжа-тово да Коши-тово, в число «теворемов про серӧдно значенне». Теворема вутверждат, чо

Ели вешесвенна верея, неутинна на отрезке и диференцыйна на прогалине , принимат на концах отрезка-тово ровны значення, дык на прогалине сыскатса хоша ба водна цег, в которой производна вереи бут нуль.

Довод

Земемерречоской мусель теворемы Роля

Ели верея на отрезке безоступна, дык вутвержденне очевидно, поскоку производна вереи бут нуль в любой цеге прогалины.

Ели жа не, поскоку верея неутинна на , дык соголосно тевореме Вейӧрштраса-тово, вона принимат свойско наиболе али наимене значенне в некоторой цеге прогалине, дык есь имат в ентой цеге локальной екстремум, и по леме Ферма-тово производна в ентой цеге бут 0.

Земемерречоской да природознайсвенной (механичоской) мусель

С земемерречоской цеги зрення теворема вутверждат, чо ели ординаты обоих концов глудкой косой равны, дык на косой сыскатса цега, в которой касательна до косой шыротна оси абсцис.

Механичоской мусель теворемы в тем, чо тело, которо воротилося в аржану цегу, в некоторым сбивишше в хое свойсково движення имало нулеву лихось.

Изжывеннось уговоров теворемы и сотвесвешы контрприклады

Сыск теворемы Роля: межу кожными двумя гленниными корешками дородночлена лежыт корешок евонной производной

Се уговоры теворемы: неутиннось вереи на отрезке, диференцыйнось на прогалине и равенсво значенӧв на концах отрезка - изжывнны. При вывӧтах кожново из ентих уговоров лӧхко подобирать контрприклад, которой видачосвоват, чо заключонне теворемы издееватса неверным.

Сыски

1° Ели диференцыйна верея вобрашатса в нуль в розлишных цегах, дык ӧ производна вобрашатса в нуль по воскрайнӧй севе в розлишных цегах, причом енти нули производной лежат во волноватой болоне нулӧв аржаной вереи. Ентот сыск лӧхко похожкатса гля вошрака дейсвительных корешков, воннако имат урын и в комплексным болоне.

2° Ели се корешки дородночлена n-ой череды дейсвительны, дык и корешки сех евонных производных до включительно — такожа вычистительно дейсвительны.

3° (Теворема Лагранжа-тово) Диференцыйна верея на отрезке межу двумя свойскими цегами имат касательнну, шыротнишну секушей/излучине, проведӧнной через енти две цеги.